MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVSTA DE CAMPOS [1.607]

$MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA$

$G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $G$ $T_{\mu \nu }$ $[$ $\mathbf {L} =n\cdot \hbar =n\cdot {h \over 2\pi }$ ]

$[$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $,$ ] $T_{\mu \nu }$

$* ψ / [/] * / [(Z)] [) [,] /] / [] . = * * ψ * / [[] [] [)] /] . = * /]]) [[]] [] * ψ] /] . =$

$G$ $* ψ] /] . =$

$G$ $* ψ] / . =$

$G$

k={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}

e q_e,.] $T_{\mu \nu }$

$G$

{kq_{e}^{2} \over r^{2}}={m_{e}v^{2} \over r}

$* ψ] /] . = * * ψ [[]] .]] * ψ]/] . = * * [* / [[]] .] * ψ /] . = * * ψ [[] [] [) * ψ /] /] . = * * ψ []] / [[]]] [) . = * * ψ [[[]] [) [$

$G$ $\lambda$

v_{n}={\frac {Z.{e}^{2}}{2\varepsilon _{o}h.n}}

] $T_{\mu \nu }$

$G$

O magnetão de Bohr, referido em alguns textos como magneton de Bohr, (símbolo $\mu _{\mathrm {B} }\,$ ) é uma constante física relacionada com o momento magnético que recebe seu nome do físico Niels Bohr. Pode ser expresso em térmos de outras constantes elementares como:

\mu _{\mathrm {B} }={{e\hbar } \over {2m_{\mathrm {e} }}}

onde:

e\,

é a carga elementar,

\hbar

é a constante de Planck reduzida,

m_{\mathrm {e} }\,

é a massa em repouso do elétron

No sistema internacional de unidades se valor é aproximadamente:

\mu _{\mathrm {B} }\,

= 9,274 008 99(37)·10-24 J·T-1

No sistema CGS de unidades seu valor é aproximadamente:

\mu _{\mathrm {B} }\,

= 9,274 008 99(37)·10-21 erg·G-1

$m\ \$ é a massa da partícula.
$q\ \$ é a carga da partícula.
${\vec {\sigma }}\ \$ é um vetor de três componentes do dois-por-dois das matrizes de Pauli. Isto significa que cada componente do vetor é uma matriz de Pauli.
${\vec {p}}\ \$ é o vetor de três componentes da dinâmica dos operadores. Os componentes desses vetores são: $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$
${\vec {A}}\ \$ é o vetor de três componentes do potencial magnético.
$\phi \ \$ é o potencial escalar elétrico.

[

q\ \

{\vec {\sigma }}\ \

{\vec {A}}\ \

\phi \ \

]

Na física atômica, o átomo de Bohr é um modelo que descreve o átomo como um núcleo pequeno e carregado positivamente cercado por elétrons em órbita circular.^[1]

Um modelo do átomo de Bohr — Um exemplo do modelo atômico de Bohr

Ernest Rutherford, no início do século XX, realiza o experimento conhecido como espalhamento de Rutherford ,^[2] no qual ele incidiu um feixe de partículas alfa (α) sobre uma folha de ouro e observou que, ao contrário do que era esperado - que as partículas deveriam ser refletidas pelos átomos de ouro considerados maciços até então -, muitas partículas atravessaram a folha de ouro e outras sofreram desvios. A partir da análise dessa experiência, afirmou que átomos eram constituídos de uma nuvem difusa de elétrons carregados negativamente que circundavam um núcleo atômico denso, pequeno e carregado positivamente.^[1]

A partir dessa descrição, é fácil deixar-se induzir por uma concepção de um modelo planetário para o átomo, com elétrons orbitando ao redor do "núcleo-sol". Porém, a aberração mais séria desse modelo é a perda de energia dos elétrons através da radiação síncrotron: uma partícula carregada eletricamente ao ser acelerada emite radiações eletromagnéticas que têm energia; fosse assim, ao orbitar em torno do núcleo atômico, o elétron deveria gradativamente emitir radiações e cada vez mais aproximar-se do núcleo, em uma órbita espiralada, até finalmente chocar-se contra ele. Um cálculo rápido mostra que isso deveria ocorrer quase que instantaneamente.

Postulado de Bohr

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Niels Bohr

Através das descrições quânticas da radiação eletromagnética propostas por Albert Einstein e Max Planck, o físico dinamarquês Niels Bohr desenvolve seu modelo atômico a partir de quatro postulados:^[3]

Os elétrons que circundam o núcleo atômico existem em órbitas que têm níveis de energia quantizados.
A energia total do elétron (cinética e potencial) não pode apresentar um valor qualquer e sim, valores múltiplos de um quantum.^[1]
Quando ocorre o salto de um elétron entre órbitas, a diferença de energia é emitida (ou suprida) por um simples quantum de luz (também chamado de fóton), que tem energia exatamente igual à diferença de energia entre as órbitas em questão.
As órbitas permitidas dependem de valores quantizados (bem definidos) de momento angular orbital, L, de acordo com a equação

$\mathbf {L} =n\cdot \hbar =n\cdot {h \over 2\pi }$

onde n = 1, 2, 3, ... é chamado de número quântico principal e h é a constante de Planck.^[4]

A regra 4 afirma que o menor valor possível de n é 1. Isto corresponde ao menor raio atômico possível, de 0,0529 nm, valor também conhecido como raio de Bohr. Nenhum elétron pode aproximar-se mais do núcleo do que essa distância.

O modelo de átomo de Bohr é às vezes chamado de modelo semi-clássico do átomo, porque agrega algumas condições de quantização primitiva a um tratamento de mecânica clássica. Este modelo certamente não é uma descrição mecânica quântica completa do átomo. A regra 2 diz que as leis da mecânica clássica não valem durante um salto quântico, mas não explica que leis devem substituir a mecânica clássica nesta circunstância. A regra 4 diz que o momento angular é quantizado, mas não diz por quê.

Expressão para o raio de Bohr

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Considere o caso de um íon com a carga do núcleo sendo Ze e um eléctron movendo-se com velocidade constante v ao longo de um círculo de raio r com centro no núcleo.^[5]

A força de Coulomb sobre o electrão é

$F={\frac {Z.e^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}$

A força de Coulomb é a força centrípeta. Logo:

$F={\frac {Z.e^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}r^{2}}}={\frac {m.v^{2}}{r}}$

Usando a regra de quantização do momento angular de Bohr:

$L=m.v.r={\frac {h}{2\pi }}=\hbar$

Temos para o n-ésimo raio de Bohr:

$r_{n}={\frac {\varepsilon _{o}n^{2}h^{2}}{\pi .mZe^{2}}}$

E a velocidade do electrão na n-ésima órbita:

$v_{n}={\frac {Z.{e}^{2}}{2\varepsilon _{o}h.n}}$

Equação de Rydberg

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A equação de Rydberg, que era conhecida empiricamente antes da equação de Bohr, está agora na teoria de Bohr para descrever as energias de transições entre um nível de energia orbital e outro. A equação de Bohr dá o valor numérico da já conhecida e medida constante de Rydberg, e agora em termos de uma constante fundamental da natureza, inclui-se a carga do elétron e a constante de Planck.^[1] Quando o elétron é movido do seu nível de energia original para um superior e, em seguida, recua um nível retornando à posição original, resulta num fóton a ser emitido. Usando a fórmula derivada para os diferentes níveis de energia de hidrogênio, determinam-se os comprimentos de onda da luz que um átomo de hidrogênio pode emitir. A energia de um fóton emitido por um átomo de hidrogênio é determinado pela diferença de dois níveis de energia de hidrogênio:^[1]

$E=E_{f}-E_{i}=R_{E}\left({\frac {1}{n_{i}^{2}}}-{\frac {1}{n_{f}^{2}}}\right)\,$

onde n_i é o nível inicial , e n_f é o nível final de energia. Uma vez que a energia de um fóton está

$E={\frac {hc}{\lambda }},\,$

o comprimento de onda do fóton emitido é dada pela

${\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{n_{i}^{2}}}-{\frac {1}{n_{f}^{2}}}\right).\,$

Isto é conhecido como a equação de Rydberg, e o R da constante Rydberg é $R_{E}/hc$ , ou $R_{E}/2\pi$ em unidades naturais . Esta equação foi conhecida no século XIX pelos cientistas que estudavam a espectroscopia, mas não havia nenhuma explicação teórica para estas equações ou uma previsão teórica para o valor de R, até Bohr. A propósito, a derivação de Bohr da constante Rydberg, bem como o acordo concomitante da equação de Bohr com as experimentalmente observadas linhas espectrais de Lyman ( $n_{f}=1$ ), Balmer ( $n_{f}=2$ ), e Paschen ( $n_{f}=3$ ), e a previsão teórica bem sucedida de outras linhas ainda não observadas, foi uma das razões para o seu modelo ser imediatamente aceito. Para aplicar em átomos com mais de um elétron, a equação de Rydberg pode ser modificada pela substituição de "Z" por "Z - b" ou "n" por "n - b", em que b é uma constante que representa o efeito de triagem devido a outros elétrons. Isto foi estabelecido empiricamente antes de Bohr apresentar seu modelo.^[6]

Níveis energéticos dos elétrons em um átomo de hidrogênio

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O modelo do átomo de Bohr explica bem o comportamento do átomo de hidrogênio e do átomo de hélio ionizado, mas é insuficiente para átomos com mais de um elétron.

Segue abaixo um desenvolvimento do modelo de Bohr que demonstra os níveis de energia no hidrogênio.

Sejam as seguintes convenções:

1. Todas as partículas são como ondas e, assim, o comprimento de onda do elétron, $\lambda$ , está relacionado à sua velocidade por

$\lambda ={h \over m_{e}v}$

onde h é a constante de Planck e m_e, a massa do elétron. Bohr não tinha levantado esta hipótese porque só depois é que foi proposto o conceito associado a esta afirmação (veja dualidade onda-partícula). Porém, permite chegar na próxima afirmação.

2. A circunferência da órbita do elétron deve ser um múltiplo inteiro de seu comprimento de onda:

$2\pi r=n\lambda \,$

onde r é o raio da órbita do elétron e n, um número inteiro positivo.

3. O elétron mantém-se em órbita por forças eletrostáticas. Isto é, a força eletrostática é igual à força centrípeta:

${kq_{e}^{2} \over r^{2}}={m_{e}v^{2} \over r}$

onde $k={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}$ e q_e, a carga elétrica do elétron.

Temos três equações e três incógnitas: v, $\lambda$ e r. Depois de manipulações algébricas para obter v em função das outras variáveis, pode-se substituir as soluções na equação da energia total do elétron:

$E=E_{cinetica}+E_{potencial}={1 \over 2}m_{e}v^{2}-{kq_{e}^{2} \over r}$

Pelo teorema do virial, a energia total simplifica-se para

$E=-{1 \over 2}m_{e}v^{2}$

$E_{n}\,$	$=-2\pi ^{2}k^{2}\left({\frac {m_{e}q_{e}^{4}}{h^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}\,$
	$={\frac {-m_{e}q_{e}^{4}}{8h^{2}\epsilon _{0}^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}\,$

Ou, depois de substituídos os valores das constantes:^[7]

E_{n}={\frac {-13.6\ \mathbf {eV} }{n^{2}}}\,

Assim, o menor nível de energia do hidrogênio (n = 1) é cerca de -13.6 eV. O próximo nível de energia (n = 2) é -3.4 eV. O terceiro (n = 3), -1.51 eV, e assim por diante. Note que estas energias são menores que zero, o que significa que o elétron está em um estado de ligação com o próton presente no núcleo. Estados de energia positiva correspondem ao átomo ionizado, no qual o elétron não está mais ligado, mas em um estado desagregado.

O modelo atômico de Bohr pode ser facilmente usado para a composição do modelo atômico de Linus Pauling. Apenas somando as camadas e as colocando na ordem de Pauling.

Frequência

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A frequência orbital^[5]

$f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {v}{2\pi .r}}$ (X)

Onde $\omega$ é a velocidade angular orbital do elétron.

${\frac {ke^{2}}{r^{2}}}={\frac {m.v^{2}}{r}}\Rightarrow \;m.v^{2}={\frac {ke^{2}}{r}}$

A partir da equação acima, que descreve o movimento orbital mantido pela força de Coulomb, podemos inferir:

${\frac {v}{r}}={\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$

Substituindo esta expressão na Equação (X) temos:

$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k.e^{2}}{m.r^{3}}}}$ (Z)

Para o átomo - $Hf=7x10^{15}Hz$ , a qual está na região ultravioleta do espectro electromagnético.

Se o elétron irradia, a energia E irá decrescer tornando-se cada vez negativa e a partir da Equação do raio da órbita r também diminui. O decréscimo em r na Equação (Z), provoca um aumento na frequência f.

De modo que temos um efeito de pista que quando a energia é irradiada, E diminui, o raio orbital r diminui, a qual por sua vez causa um aumento da frequência orbital f e aumentando continuamente a frequência irradiada.

Este modelo planetário prevê que o electrão se mova em espiral para dentro em direção ao núcleo, emitindo um espectro contínuo. Calcula-se que este processo não dure mais do que $1\times 10-8s$ , um tempo muito curto na verdade.

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